7.3. Tính chất đường phân giác của tam giác

Hướng dẫn giải bài tập SGK toán lớp 8 tập 2 trang 67, 68. Bài học Tính chất đường phân giác của tam giác.

Bài 15. (Trang 67 SGK Toán 8 – Tập 2)

Tính trong hình dưới và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Bài giải:

a) Vì AD là đường phân giác của góc BAC (gt), theo định lí về đường phân giác của tam giác ta có:

hay (đvđd)

Vậy (đvđd)

b) Vì QP là đường phân giác của góc MPN (gt) và

Theo định lí về đường phân giác của tam giác, ta có:

hay

(đvđd)

Vậy (đvđd)

Bài 16. (Trang 67 SGK Toán 8 – Tập 2)

Xét tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam ABD và diện tích của tam giác ACD bằng .

Bài giải:

Xét hai tam giác ABD và ACD có cùng đường cao AH, ta có:

Lấy (1) chia cho (2) ta có:

Mà AD là đường phân giác của góc BAC nên:

Từ (3) và (4) ta suy ra: (đpcm)

Bài 17. (Trang 67 SGK Toán 8 – Tập 2)

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC.

Bài giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác vào hai tam giác AMB và AMC, ta có:

Suy ra

Theo định lí Ta-lét ta suy ra được  (đpcm)

Bài 18. (Trang 68 SGK Toán 8 – Tập 2)

Tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

Bài giải:

a) Vì AE là đường phân giác của góc BAC, theo tính chất đường phân giác, ta có:

b) Ta có

Vậy và

Bài 19. (Trang 68 SGK Toán 8 – Tập 2)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

a)

b)

c)

Bài giải:

a) Vẽ đường chéo AC, AC cắt EF tại O.

Áp dụng định lí Ta-lét đối với tam giác ADC và tam giác CAB, ta có:

b)

c)

Bài 20 (Trang 68 SGK Toán 8 – Tập 2)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BP cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh AD, BC theo thứ tự tại E và F (hình vẽ). Chứng minh rằng OE = OF.

Bài giải:

Xét hai tam giác ADC và BDC với giả thiết EF // DC, ta có:

và

Vì ABCD là hình thang, do đó AB // CD. Ta lại có:

hay

Từ (1) (2) và (3) ta suy ra (đpcm)

(Hai phân số bằng nhau và có cùng mẫu số. Vậy tử số của chúng cũng phải bằng nhau).

Bài 21. (Trang 68 SGK Toán 8 – Tập 2)

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết và diện tích của tam giác ABC là S.

b) Khi cho n = 7cm; m = 3cm, hỏi rằng diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích của tam giác ABC?

Bài giải:

a) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến BC.

Ta có:

AD là phân giác trong của góc BAC nên:

Vì nên

Từ (1) và (2) D nằm giữa B và M.

Ta có:

Từ (3) và (4)

b) Khi n = 7cm, m = 3cm, ta có:

Vậy diện tích tam giác ADM bằng 20% diện tích tam giác ABC.

Bài 22. (Trang 68 SGK Toán 8 – Tập 2)

Đố: Hình bên cho biết có 6 góc bằng nhau: .

Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ các kích thước đã cho.

Bài giải:

Ta có 9 tam giác với các đường phân giác của nó. Áp dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có:

Xem thêm: Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Khái niệm hai tam giác đồng dạng.