7.2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta – lét

Hướng dẫn giải bài tập SGK toán lớp 8 tập 2 trang 62, 63, 64. Bài học Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét.

Bài 6. (Trang 62 SGK Toán 8 – Tập 2)

Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình dưới và giải thích vì sao chúng song song.

a)

b)

Bài giải:

* Hình a): Xét tam giác ABC có: hay

Theo định lí Ta-lét đảo, ta suy ra MN // AB.

* Cũng trong tam giác ABC, ta có:

mà

Suy ra PM và BC không song song với nhau.

* Hình b): Xét tương tự câu a) ta có:

Suy ra (1)

* Theo hình vẽ, ta có:

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

Từ (1) và (2) suy ra: .

Bài 7. (Trang 62 SGK Toán 8 – Tập 2)

Tính các độ dài x, y trong hình dưới.

a) Với

b)

Bài giải:

* Hình a): Trong tam giác DEF, ta có MN // EF (gt)

* Hình b): Ta có: A’B’ // AB (vì cùng vuông góc với AA’)

Vì tam giác OA’B’ vuông tại A’ nên ta có:

Thay vào (3) ta có:

Tương tự, ta có:

Bài 8. (Trang 63 SGK Toán 8 – Tập 2)

a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau, người ta đã làm như hình vẽ.

Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau?

b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau.

Bài giải:

a) Kẻ đường thẳng a song song với AB. Từ điểm P bất kì trên a, lấy các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau PE = EF = FQ = 1 (đơn vị độ dài)

Vẽ các đoạn thẳng PB, QA. Các đoạn thẳng này cắt nhau tại O. Vẽ các đoạn thẳng FO, EO cắt AB ở C và D.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét ta được:

(vì đều bằng hay )

Theo cách dựng PE = EF = FQ. Từ đó suy ra AC = CD = DB.

b) Chia đọa thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau.

* Cách 1: Làm như câu a)

* Cách 2: Từ A kẻ thêm đường thẳng Ax (không trùng AB), trên đó ta lấy 5 đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau

AC = CD = DE = EF = FQ

– Kẻ đường thẳng GB. Rồi từ các điểm C, D, E, F kẻ các đường thẳng song song GB, chúng cắt AB tại các điểm tương ứng M, N, P, Q ta được AM = MN = NP = PQ = QB.

Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác và đường trung bình trong hình thang ta chứng minh được:

AM = MN = NP = PQ = QB.

Bài 9. (Trang 63 SGK Toán 8 – Tập 2)

Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho ;

. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.

Bài giải:

Từ B và D trên cạnh AB của tam giác ABC hạ các đường vuông góc BM, DN với AC, ta có:

BM // DN (vì cùng vuông góc với AC)

Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ABM, ta có:

Vậy tỉ số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC là: .

Bài 10. (Trang 63 SGK Toán 8 – Tập 2)

Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B’, C’ và H’ (hình vẽ)

a) Chứng minh rằng:

b) Áp dụng: Cho biết và diện tích tam giác ABC là .

Tính diện tích tam giác

Bài giải:

a) Vì B’C’ // BC (gt), áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vậy

b) Từ giả thiết , ta có: . Suy ra

Gọi S và S’ là diện tích của tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

Từ đó suy ra

Vậy diện tích tam giác là .

Bài 11. (Trang 63 SGK Toán 8 – Tập 2)

Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (hình vẽ)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là

Bài giải:

a) Vì MN // BC nên ta có:

Vì nên ta có:

b) Gọi và lần lượt là diện tích các tam giác AMN, AEF và ABC.

Áp dụng kết quả câu b) của bài 10, ta có:

Ta có:

Vậy .

Bài 12. (Trang 64 SGK Toán 8 – Tập 2)

Có thể đo được chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không?

Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng của con sông mà không cần phải sang bờ sông bên kia (hình vẽ). Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách theo .

Bài giải:

– Xác định 3 điểm sao cho chúng thẳng hàng.

– Từ B và B’ vẽ sao cho ba điểm A, C, C’ thẳng hàng.

– Đo các khoảng cách

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét, ta có:

hay

hay hay

Suy ra

Bài 13. (Trang 64 SGK Toán 8 – Tập 2)

Có thể đo gian tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản được không?

Hình bên thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm:

Hai cọc thẳng đức (cọc 1 cố định; cọc 2 có thể di động được) và sợi dây FC.

Cọc 1 có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a; DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.

a) Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như nào.

b) Tính chiều cao AB theo h, a, b.

Bài giải:

a) Đo chiều cao bức tường bằng cách xác định điểm C trên mặt đất.

– Cắm cọc 1 cố định và vuông góc với mặt đất. Cọc 1 có chiều cao là h.

– Điều chỉnh cọc 2 lên (xuống) sao cho hai đầu cọc F và K và điểm A thẳng hàng.

– Xác định điểm C trên mặt đất sao cho F, K, C thẳng hàng (bằng cách dùng dây căng thẳng theo đường thẳng FK cho đến khi chạm đất).

– Từ C đo các đoạn thẳng BC = a, DC = b (D và E là chân các cọc thẳng hàng với BC)

b) Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ABC, ta có:

Suy ra .

Bài 14. (Trang 64 SGK Toán 8 – Tập 2)

Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo). Dựng đoạn thẳng có độ dài sao cho:

a) ;

b) ;

c) .

Hướng dẫn: Câu b) – Vẽ tia Ox, Oy.

– Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị.

– Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB’ = n và xác định điểm A’ sao cho:

– Từ đó ta có: .

Bài giải:

a) Dựng đoạn thẳng sao cho

* Cách dựng:

– Dựng tai At.

– Trên tia At dựng hai đoạn thẳng liên tiếp AB = BC = m.

Đoạn thẳng AC là đoạn thẳng  cần dựng.

* Chứng minh: B nằm giữa hai điểm A và C nên:

Do đó:

b) Dựng đoạn thẳng sao cho:

* Cách dựng:

– Dựng góc xAy bất kì.

– Trên tia Ax, lấy AB = n.

– Trên tia Ay, lấy AC = 2, AD = 3 (đơn vị độ dài tùy chọn)

– Nối DB, dựng Ct // BD, Ct cắt Ax ở X; AX là đoạn thẳng cần dựng.

* Chứng minh: Ta có: CX // BD (do X thuộc Ct và Ct // BD)

Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ABD, ta được:

Mặt khác:

c) Dựng đoạn thẳng sao cho

* Cách dựng: Dựng góc xAy bất kì

– Trên tia Ax lấy AB = m.

– Trên tia Ay lấy AC = n và AD = p.

– Nối BC. Dựng Dt // BC, Dt cắt Ax tại X, AX là đoạn thẳng cần dựng.

* Chứng minh: Ta có DX // BC ( do X thuộc Dt và Dt // BC).

Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ADX, ta được

Mặt khác (theo đề bài). Nên

Xem thêm: Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Tính chất đường phân giác của tam giác.