6.9. Ôn tập chương VI

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 1 trang 128. Bài học: Ôn tập chương VI

Bài 41. (Trang 128 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn : (I) và (O). (K) và (O), (I) và (K)

b) Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh đẳng thức

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Bài giải

a) Vị trí tương đối của các đường tròn.

• (I) và (O):

Ta có:

Vậy (I) tiếp xúc trong với (O) tại B

• (K) và (O):

Ta có:

Vậy (K) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại C

• (I) và (K)

Ta có: 

Vậy (I) và (K) tiếp xúc ngoài tại H

b) Xét tứ giác EAFH có: (gt)

(vì tam giác ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính BC)

Tứ giác EAFH có . Vậy EAFH là hình chữ nhật

c) Chứng minh

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB , ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC , ta có:

Từ (1) và (2) ta có (đpcm)

d)

Gọi I là giao điểm của EF và AH

Ta có EAFH là hình chữ nhật nên

Vì G là giao điểm của hai đường chéo nên suy ra được GH = GF

Vậy là tam giác cân tại G. Suy ra

Tam giác KHF là tam giác cân tại K nên

Cộng (1) và (2) theo vế, ta có:

Vậy

Suy ra hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

Chứng minh tương tự : là tam giác cân tại E nên

là tam giác cân tại I nên

Cộng vế với vế: hay

Vậy hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)  (**)

Từ (*) và (**) chứng tỏ rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)

e) Vì đường tròn (O) cố định nên bán kính OA có độ dài không đổi

Vì tứ giác EAFH là hình chữ nhật nên : (không đổi)

Suy ra : khi và chỉ khi H trùng với O. Mà H trùng với O khi và chỉ khi AD đi qua O, nghĩa là dây AD trở thành đường kính AD. Vậy khi dây AD vuông góc với đường kính BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

 

Bài 42. (Trang 128 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài , . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

b)

c) OO’ là tiếp tuyến chung của đường tròn có bán kính là BC

d) BC là tiếp tuyến chung của đường tròn có bán kính là OO’

Bài giải

a)

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên MO là tia phân giác của và hay

Chứng minh tương tự, ta có:

Theo chứng minh trên ta có ME và MF là hai đường phân giác của hai góc kề bù AMB và AMC nên

Tứ giác AEMF có ba góc vuông. Vậy AEMF là hình chữ nhật

b)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO’, ta có

Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn M

Theo tính chất của các tiếp tuyến với đường tròn, ta có:

Như vậy ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn đường kính BC có tâm là điểm M, bán kính MA

Ta còn có MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) nên . Do đó, OO’ là tiếp tuyến chung của đường tròn

d) GỌi I là trung điểm OO’. Vì tam giác MOO’ vuông tại M. MI là trung tuyến nên

Vậy I là trung điểm của đường tròn có đường kính OO’ và IM là bán kính

Ta còn có IM là đường trung bình của hình thang OBCO’ nên

Do đó:

Điều này chứng tỏ rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn

Bài 43. (Trang 128 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho hai đường tròn   và cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn theo thứ tự tại C và D (khác A)

a) Chứng minh rằng AC = AD

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB

Bài giải

a) Kẻ

Theo tính chất đường kính vuông góc một dây, ta có:

Tương tự, kẻ

Ta có:

Vậy tứ giác OMNO’ là hình thang vuông

Ta có: (gt) và

Do đó IA là đường trung bình của hình thang OMNO’

Suy ra (đpcm)

b) Ta có OO’ là đường nối tâm của (O) và (O’)

Nên OO’ là đường trung trực của AB. Suy ra

Ta có: (do K là điểm đối xứng của A qua I) và

Vậy IE là đường trung bình của tam giác AKB. Suy ra

Mà . Suy ra (đpcm)

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Góc ở tâm và số đo ở cung