5.1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 1 trang 68-70. Bài học: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1. (Trang 68 SGK Toán 9 – Tập 1)

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau :

Bài giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ

a) Áp dụng định lí Py ta go trong tam giác vuông ABC, ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH, ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

Vậy và

b) Áp dụng định lí Py ta go trong tam giác vuông ABC, ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

và

hay

Vậy và

Bài 2. (Trang 68 SGK Toán 9 – Tập 1)

Hãy tìm x và y trong hình sau:

(h.5)

Bài giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Ta có :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

và

hay

Vậy và

Bài 3. (Trang 69 SGK Toán 9 – Tập 1)

Hãy tìm x và y trong hình sau:

Bài giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Áp dụng định lí Py ta go trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

Vậy và

Bài 4. (Trang 69 SGK Toán 9 – Tập 1)

Hãy tìm x và y trong hình sau:

Bài giải

Đặt tên điểm như hình vẽ:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông HAC, ta có:

hay

Vậy và

Bài 5. (Trang 69 SGK Toán 9 – Tập 1)

Trong tam giác vuông với cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4. kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Bài giải

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABC , ta có:

Suy ra

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

Vậy

Bài 6. (Trang 69 SGK Toán 9 – Tập 1)

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Bài giải

Ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

Vậy

Bài 7. (Trang 69 SGK Toán 9 – Tập 1)

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng  minh các cách vẽ trên là đúng

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Bài giải

• Cách 1

Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một nửa cạnh đó thì tam giác ấy là vuông

Gọi O là trung điểm BC. Lấy O làm tâm dựng một cung tròn có bán kính bằng , cắt đường thẳng vuông góc với BC ở H tại điểm A. Nối A với B, C ta có

Ta có cách dựng tam giác ABC có trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó vuông tại A

Vậy hay

Cách 2: Tương tự theo cách dựng có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó vuông tại D

Vậy hay

Bài 8. (Trang 70 SGK Toán 9 – Tập 1)

Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Bài giải

a)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

Vậy

b)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

và

c)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

hay

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHB, ta có:

hay

Vậy

Bài 9. (Trang 70 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B.. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Bài giải

a) Xét hai tam giác vuông và ta có:

  (gt)

(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Vậy

Suy ra

Xét , ta có:

Vậy cân tại D

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DLK, ta có:

Mà nên:

= không đổi (đpcm)

(Vì hình vuông ABCD, các cạnh có độ dài không đổi, do đó cũng có độ dài không đổi khi I thay đổi trên AB).

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Tỉ số lượng giác của góc nhọn