3.2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 1 trang 11- 12. Bài học: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Nội dung chính
Bài 4. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 2)
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao :
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài giải
a) Với hệ phương trình: 
Ta có: 
Vì hai đường thẳng của hai phương trình đã cho trong hệ phương trình là hai đường thẳng có hệ số khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm
b) Với hệ phương trình 
Ta có: 
Vì hai đường thẳng của hai phương trình đã cho trong hệ phương trình là hai đường thẳng khác nhau và có cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau. Vậy hệ phương trình vô nghiệm
c) Ta có: 
và 
Vì hai đường thẳng của hai phương trình đã cho trong hệ phương trình là hai đường thẳng khác nhau và có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm
d) 
Vì hai đường thẳng của hai phương trình đã cho trong hệ phương trình là hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ có vô số nghiệm.
Bài 5. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 2)
Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau bằng hình học :
a) 
b) 
Bài giải
a) Ta có:
+) Vẽ 
Cho 
, ta được 
Cho 
, ta được 
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B
+) Vẽ 
Cho 
, ta được 
Cho 
, ta được 
Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm C, B
Nhận xét: Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm. Vậy hệ phương trình có một nghiệm: 
b) 
+) Vẽ 
Cho 
, ta được điểm 
Cho 
, ta được điểm 
Nối A với B ta được (d).
+) Vẽ 
Cho 
, ta được điểm 
Cho , ta được điểm 
Nối C với B, ta được (d’)
Nhận xét: Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm. Vậy hệ phương trình có một nghiệm 
Bài 6. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 2)
Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương nhau
Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có cùng vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau.
Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).
Bài giải
a) Ý kiến của bạn Nga đúng: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau:
Vì theo định nghĩa (hệ phương trình tương đương). Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại. Do đó, hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng 
.
b)Ý kiến của bạn Phương là không đúng vì hai phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm, nhưng tập hợp nghiệm của chúng không luôn luôn trùng nhau.
Ví dụ: Cho hai hệ phương trình 
và 
đều có vô số nghiệm số, nhưng tập hợp nghiệm của hệ (II) được biểu diễn bởi đường thẳng 
.
Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ (I) và (II) không tương đương.
Bài 7. (Trang 12 SGK Toán 9 – Tập 2)
Cho hai phương trình 
và 
.
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng
Bài giải
a) Ta có: 
Do đó, phương trình có nghiệm tổng quát như sau:
hoặc 
Tương tự với phương trình
Ta có: 
Do đó, phương trình có nghiệm tổng quát như sau:
hoặc 
b) Vẽ đồ thị các hàm số:
- Hàm số
- Cho x = 0, tính được y = 4. Ta xác định được điểm
- Cho y = 0, tính được x = 2. Ta xác định được điểm
Nối A với B ta được đồ thị hàm số.
Hàm số
Cho x = 1, tính được y = 1. Ta xác định được điểm 
Cho x = 3, tính được y = – 2. Ta xác định được điểm
Nối C với D ta được đồ thị hàm số
Vẽ đồ thị: Ta có (d) cắt (d’) tại điểm D có tọa độ 
. Vậy nghiệm chung của hệ phương trình là: 
Bài 8. (Trang 12 SGK Toán 9 – Tập 2)
Cho các hệ phương trình sau :
a) 
b) 
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
T
Bài giải
- Mỗi hệ phương trình có một nghiệm duy nhất vì trong mỗi hệ, một trong hai đồ thị là đường thẳng song song với trục tọa độ, còn đồ thị kia là đường thẳng không song song với một trục tọạ độ nào cả.
- Kiểm tra bằng hình vẽ:
a) Đối với hệ phương trình:
– Đồ thị hàm số 
là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm 
.
– Đồ thị hàm số 
là một đường thẳng đi qua hai điểm 
và 
.
Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ 
.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm 
b) Hệ phương trình 
- Đồ thị hàm số
là một đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 
. - Đồ thị hàm số
là một đường thẳng đi qua điểm 
và 
- Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ
- Vậy hệ phương trình có một nghiệm
Bài 9. (Trang 12 SGK Toán 9 – Tập 2)
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao :
a) 
b) 
Bài giải
- Hai hệ phương trình trên đều vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập hợp nghiệm của hai phương trình trong hệ là song song với nhau.
- Chứng minh
a) Hệ 
có 
. Vậy 
b) Hệ 
có 
Vậy 
Bài 10. (Trang 12 SGK Toán 9 – Tập 2)
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao :
a) 
b) 
Bài giải
- Hai hệ phương trình trên đều vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập hợp nghiệm của hai phương trình trong hệ là trùng với nhau.
- Chứng minh:
a) 
có 
. Vậy (d) trùng với (d’)
b) 
có 
. Vậy 
và 
trùng nhau
Bài 11. (Trang 12 SGK Toán 9 – Tập 2)
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó ? Vì sao ?
Bài giải
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta kết luận rằng hệ hai phương trình có vô số nghiệm. Vì hệ có hai nghiệm phân biệt có nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập hợp nghiệm của chúng đều có hai điểm chung phân biệt . Suy ra hai đường thẳng đó trùng nhau.
Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bạn có thể in hoặc xuất file pdf! Thật tuyệt!
