7.2. Liên hệ giữa cung và dây

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 2 trang 71-72. Bài học: Liên hệ giữa cung và dây

Bài 10. (Trang 71 SGK Toán 9 – Tập 2)

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R= 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60º Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet ?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.

Bài giải

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính . Vẽ góc ở tâm có số đo bằng . Góc này cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Cung là cung phải vẽ.

Vì cân tại O và có .

Vậy tam giác AOB là tam giác đều.

Suy ra

b) Để chia ra làm sáu cung bằng nhau, ta làm như sau:

Lấy điểm bất kì trên đường tròn . Dùng compa với khẩu độ bằng R vẽ liên tục các điểm rồi . Cách vẽ này cho biết có 6 dây cung bằng nhau: . Vì 6 dây bằng nhau nên chúng căng 6 dây bằng nhau trên :

Bài 11. (Trang 72 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho . Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD .

a) Chứng minh rằng .

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

 

Bài giải

Vì và nội tiếp trong nửa đường tròn nên chúng là những tam giác vuông tại B.

Xét hai tam giác vuông và có:

AC = AD (đường kính hai đường tròn bằng nhau)

AB chung

Vậy

Suy ra

MÀ hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên hai dây bằng nhau sẽ căng hai cung bằng nhau.

Vậy

b) Vì điểm E nằm trên đường tròn đường kính AD nên .

Do nên EB là đường trung tuyến của tam giác vuông ECD. Suy ra

Trong (O’) ta có: suy ra hay B là điểm chính giữa của cung EBD. (đpcm)

 

Bài 12. (Trang 72 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD

a) Chứng minh rằng OH > OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

Bài giải

a) Trong tam giác ABC, có:

mà

Suy ra hay

Theo định lí về dây cung và khoảng cách đều tâm đường tròn thì ta có: OH > OK (đpcm)

b) Trong (O), ta có:

Bài 13. (Trang 72 SGK Toán 9 – Tập 2)

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Bài giải

Ta chia làm 2 trường hợp:

a) Tâm O nằm ngoài hai dây

Kẻ đường kính và cắt CD tại I, cắt B tại K.

Vì AB // CD nên

Giả sử K nằm giữa M và I.

Ta được

Suy ra hay

b) Tâm O nằm trong hai dây.

Chứng minh tương tự câu a)

Học sinh tự làm

Bài 14. (Trang 72 SGK Toán 9 – Tập 2)

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không ? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Bài giải

a) Vì I là trung điểm của cung AB, suy ra

Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB

Vậy

Mệnh đề đảo: đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì tam giác AOB cân tại O và nên OH là đường phân giác của góc AOB. Suy ra

Từ đó suy ra .

Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây AB đi qua tâm C của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b) Ta có:

Điều này chứng tỏ rằng điểm M nằm trên đường trung trực của AB (1)

Ta có: OA = OB = bán kính.

Điều này chứng tỏ rằng điểm O nằm trên đường trung trực của AB. (2)

Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng OM hay NM là đường trung trực của dây AB. Suy ra

Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi đi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Ta có: cân tại O

Mà nên OM là đường phân giác của

Ta có: . Do đó . Suy ra

Vậy M là điểm chính giữa của cung AB.

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Góc nội tiếp