8.2. Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 2 trang 117-120. Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bài 15. (Trang 117 SGK Toán 9 – Tập 2)

Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bảng 1) (h.93). Hãy tính :

a) Bán kính đáy của hình nón.

b) Độ dài đường sinh

Bài giải

a) Vì đáy của hình nón là đường tròn nội tiếp trong hình vuông có cạnh bằng 1. Do đó, bán kính đáy của hình nón là .

b) Độ dài đường sinh của hình nón chính là cạnh AC của tam giác vuông HAC với

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông HAC, ta có:

Suy ra

Bài 16. (Trang 117 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung chi vi đáy.

Quan sát hình 94 và tính số đo cung hình quạt tròn.

Bài giải

Theo đề bài, ta có:

Độ dài của cung hình quạt tròn bán kính , bằng chu vi đáy hình nón:

Theo công thức tính độ dài cung tròn , ta có:

Vậy số đo cung hình quạt tròn là

Bài 17. (Trang 117 SGK Toán 9 – Tập 2)

Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình 87 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là , độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.

Bài giải

Tam giác CAO vuông tại O, có ,đường sinh CA = a. Do đó là nửa tam giác đều cạnh a. Suy ra

Ta có độ dài cung hình quạt tròn , bán kính bằng chu vi đáy của hình nón nên ta có:

Vậy bán kính hình nón là

Bài 18. (Trang 117 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hình ABCD (h.95) khi quay quanh BC thì tạo ra:

(A) Một hình trụ

(B) Một hình nón

(C) Một hình nón cụt

(D) Hai hình nón

(E) Hai hình trụ

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Bài giải

Chọn câu D.

Bài 19. (Trang 118 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là 16 cm, số đo là thì độ dài đường sinh của hình nón là :

(A) 16 cm

(B) 8 cm

(C) cm

(D) 4 cm

(E) cm

Hãy chọn kết quả đúng

Bài giải

Từ đề bài ta triển khai ra được như hình vẽ.

Ta nhận thấy rằng bán kính của hình quạt cũng chính là đường sinh của hình nón

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là .

Do đó, chọn câu A.

Bài 20. (Trang 118 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hãy điền đủ vào các ô trống ở bảng sau (xem hình 96):

Bán kính đáy r (cm)	Đường kính đáy d (cm)	Chiều cao h (cm)	Độ dài đường sinh l (cm)	Thể tích V ()
10		10
	10	10
		10		1000
10				1000
	10			1000

Bài giải

Bán kính đáy r (cm)	Đường kính đáy d (cm)	Chiều cao h (cm)	Độ dài đường sinh l (cm)	Thể tích V ()
10	20	10
5	10	10
		10		1000
10	20			1000
5	10			1000

Bài 21. (Trang 118 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ (h.97). Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).

Bài giải

Theo đề bài, ta nhận xét rằng tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ bằng tổng diện tích của hình vành khăn và hình nón:

Ta có diện tích hình vành khăn:

  với

Ta có diện tích hình nón:

Khi đó diện tích vải cần có để làm nên cái mũ là:

Vậy

Bài 22. (Trang 118 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm theo .

Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.

Bài giải

Theo đề bài cho thì hai hình nón trên hình bằng nhau, do đó thể tích của chúng cũng bằng nhau.

Do đó . Suy ra    (1)

Thể tích hình trụ:     (2)

So sánh: Ta có:

Suy ra

Vậy tổng các thể tích của hai hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ.

Bài 23. (Trang 118 SGK Toán 9 – Tập 2)

Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (góc của tam giác vuông AOS- hình 99) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một phần tư diện tích hình tròn (bán kính SA).

Bài giải

Diện tích hình quạt có bán kính l với số đo cung là:

. (*)

Theo đề bài ta có:   (hình nón)  (1)

Mà diện tích xung quanh hình nón có bán kính và đường sinh .

Từ (1) ta có:

Trong tam giác vuông SOA, ta có:

Suy ra

Bài 24. (Trang 118 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16 cm, số đo cung là . Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:

(A)

(B)

(C)

(D)

Hãy chọn kết quả đúng.

Bài giải

Đường sinh của hình nón là .

Độ dài cung AB của đường tròn chứa hình quạt là

Chu vi đáy bằng và bằng độ dài cung AB

Trong tam giác vuông AOS ta có:

Đáp số A

Bài 25. (Trang 118 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b (a < b) và độ dài đường sinh là (a, b, l có cùng đơn vị đo).

Bài giải

Theo công thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt, ta có:

  (với : bán kính 2 đường tròn đáy, l; đường sinh)

Theo đề bài, ta có:

Bài 26. (Trang 119 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hãy điền đủ vào các ô trống cho ở bảng sau (đơn vị độ dài : cm)

Bài giải

Bán kính đáy r (cm)	Đường kính đáy d (cm)	Chiều cao h (cm)	Độ dài đường sinh l (cm)	Thể tích V
5	10	12	13	314
8	16	15	17
7	14	24	25
20	40	21	29

Bài 27. (Trang 119 SGK Toán 9 – Tập 2)

Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình 100. Hãy tính:

a) Thể tích của dụng cụ này ;

b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ ( không tính nắp đậy)

Bài giải

a) Thể tích dụng cụ này gồm một hình trụ có đường kính đáy là 1,4 m, đường cao 70 cm và một hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ (0,7 m), chiều cao hình nón là 0,9 m

Thể tích hình trụ:

Thể tích hình nón:

Vậy thể tích của dụng cụ là:

b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ chính là tổng diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích xung quanh của hình nón,

Diện tích xung quanh của hình trụ:

Diện tích xung quanh hình nón:

Ta có độ dài đường sinh hình nón bằng:

Vậy diện tích mặt ngoài của dụng cụ là:

 

Bài 28. (Trang 120 SGK Toán 9 – Tập 2)

Một cái xô bằng inoc có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước cho ở hình 101 (đơn vị: cm).

a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.

b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu ?

Bài giải

a) Hình nón cụt có

Do đó diện tích xung quanh của xô là:

b) Khi xô đựng đầy hóa chất thì dung tích của nó cũng chính là thể tích của hình nón cụt trong hình vẽ.

Ta có: với

Gọi và là chiều cao từ đỉnh đến đáy nhỏ và đáy lớn hình nón:

Khi đó chiều cao hình nón cụt là:

Thay vào công thức ta được:

Vậy dung tích của xô khi chứa đầy hóa chất là 25,3 lít

Bài 29. (Trang 120 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê (từ tác phẩm của Xéc-van-téc)

Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (h.102). Chiều cao của hình nón là 42 cm và thể tích của nó là 17 600 .

Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Bài giải

Ta có công thức thể tích hình nón là:

Vậy bán kính đáy của hình nón là 20 cm.

 

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu