6.6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 1 trang 115-116. Bài học: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 26. (Trang 115 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Bài giải

a) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) nên .

Suy ra cân tại A.

Ta có AO là đường phân giác của của tam giác cân ABC nên AO cũng là đường cao

Vậy

b) Gọi I là giao điểm của AO với BC

Ta có: (ch-gn)

Trong tam giác BCD có:

là đường trung bình của

Nên hay

Vậy (đpcm)

c) Vì AB là tiếp tuyến của (O) với B là tiếp điểm nên   và . Vậy vuông tại B.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAB, ta có:

Trong tam giác vuông OAB có:

Tam giác ABC cân tại A và có nên tam giác ABC đều

Suy ra:

Bài 27. (Trang 115 SGK Toán 9 – Tập 1)

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

Bài giải

Theo đề bài ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) nên: AB = AC

và BD và DM là hai tiếp tuyến với đường tròn (O) nên: DB = DM

Tương tự: EM = EC

Ta có chu vi tam giác ADE bằng:

Vậy chu vi

Bài 28. (Trang 116 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào ?

Bài giải

Gọi O là tâm của đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh Ax, Ay của . Khi đó, khoảng cách từ O đến hai cạnh Ax, Ay đều bằng nhau.

Vậy tâm O các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.

Bài 29. (Trang 116 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.

Bài giải

Giả sử bài toán được dựng xong:
Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay

Dựng tia phân giác Az của góc xAy. Qua , dựng đường vuông góc với Ax cắt Az tại O. Vậy O là tâm của đường tròn cần dựng

Chứng minh: Vì tâm O của đường tròn nằm trên đường phân giác Az của nên đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.

Bài 30. (Trang 116 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi là các tia vuông góc với AB ( và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó căt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

a)

b)

c) Tích không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Bài giải

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

OC là tia phân giác của góc AOM

OD là tia phân giác của góc BOM

Mà OC và OD là các tia phân giác của hai góc AOM và BOM nên

Vậy

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn, ta có:

Mà

Vậy (dpcm)

c) Từ (1), ta có:

Xét tam giác vuông COD , ta có:

hay (R là bán kính đường tròn (O))

Vậy (không đổi) khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O).

Bài 31. (Trang 116 SGK Toán 9 – Tập 1)

Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng:

b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).

 

Bài giải

a) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn, ta có:

Mà thay vào (*) ta được:

Vậy (đpcm)

b) Tìm các hệ thức tương tự:

và

Bài 32. (Trang 116 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1 cm. Diện tích của tam giác ABC bằng :

(A)

(B)

(C)

(D)

Hãy chọn câu trả lời đúng

Bài giải

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC và H là tiếp điểm .

Đường phân giác AH cũng là đường cao của tam giác nên thẳng hàng, ta có:

(Vì O là giao điêm 3 đường phân giác của ba góc trong tam giác ABC, mà trong tam giác đều 3 đường phân giác cũng là 3 đường trung tuyến nên )

Trong tam giác vuông HAC, ta có:

Ta có

Vậy

Do đó ta chọn câu D

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Vị trí tương đối của đường tròn