8.4. Ôn tập chương VIII

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 2 trang 129-131. Ôn tập chương VIII

Bài 38. (Trang 129 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.

Bài giải

a) Theo đề bài ta có: Thể tích phần cần tính là tổng thể tích của hai hình trụ có đường kính là 11 cm và 6 cm

Thể tích hình trụ có đường kính đáy là 11 cm và chiều cao là 2 cm.

Thể tích hình trụ có đường kính đáy là 6 cm, chiều cao là 7 cm

Vậy thể tích của chi tiết máy cần tính là:

b) Tương tự, theo đề bài diện tích bề mặt của chi tiết máy bằng tổng diện tích xung quanh của hai chi tiết máy.

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy 11 cm và chiều cao là 2 cm là:

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy là 6 cm và chiều cao là 7 cm là:

Vậy diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

Bài 39. (Trang 129 SGK Toán 9 – Tập 2)

Một hình chữ nhật ABCD có , diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là và . Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Bài giải

Khi hình chữ nhật ABCD quay quanh trục AB cố định ta được mặt hình trụ. Vì đề bài cho chúng ta biết diện tích và chu vi hình chữ nhật ABCD nên ta xem AB và AD như các ẩn số. Đi tìm ẩn số đó thì ta tính được diện tích xung quanh và thể tích hình trụ do hình chữ nhật tạo ra.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

Từ (1) và (2), ta có AB và CD là nghiệm của phương trình:

hay   (2)

Giả sử phương trình ta được: .

Theo giả thiết nên ta chọn:

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

Thể tích hình trụ:

Bài 40. (Trang 129 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.

Bài giải

Với hình a:

Với hình b:

Bài 41. (Trang 129 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, (a, b cùng đơn vị : cm)

Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng phía với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D (xem hình 116).

a) Chứng minh AOC và BDO là tam giác đồng dạng; từ đó suy ra ra tích AC.BD không đổi.

b) Tính diện tích hình thang ABDC khi .

c) Với cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành.

 

Bài giải

a) Xét hai tam giác vuông AOC và BDO, ta có:

(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc).

Vậy đồng dạng

Suy ra: hay

Vậy không đổi.

b) Khi thì tam giác AOC trở thành nửa tam giác đều là OC, chiều cao AC.

Suy ra và

Thay vào (1), ta có:

Ta có công thức tính diện tích hình thang ABCD là:

c) Theo đề bài, khi quay hình vẽ xung quanh AB thì:

tạo nên hình nón có bán kính đáy là và chiều cao là .

tạo nên hình nón có bán kính đáy là và chiều cao .

Ta có:

Vậy

Bài 42. (Trang 130 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).

Bài giải

Hình a): Hình cần tính thể tích gồm:

Hình trụ có đường kính đáy 14 cm, đường cao 5,8 cm.

Hình nón có đường kính đáy 14 cm và đường cao 8,1cm

Vậy thể tích hình cần tính là:

Đáp số:

Hình b) là một hình cụt với các điều kiện đã cho, để tính thể tích của hình này ta lấy thể tích hình nón lớn trừ đi thể tích hình nón nhỏ.

Thể tích hình nón lớn :

Thể tích hình nón nhỏ:

Thể tích hình nón cụt:

 

Bài 43. (Trang 130 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).

Bài giải

Hình a) là một hình trụ có đường kính đáy là , chiều cao là và nửa hình cầu có đường kính là . Vậy:

Vậy

Hình b) là một hình nón và nửa hình cầu

Vậy

Hình c) Thể tích hình cần tính là tổng các thể tích của một hình nón, một hình trụ và một nửa hình cầu

Vậy

Bài 44. (Trang 130 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay xung quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Bài giải

Dựng GH vuông góc EF

Khi hình vẽ quay quanh trục GO thì :

a) Ta có:

Thể tích hình trụ sinh ra bởi hình vuông ABCD là:

Thể tích hình cầu:

Gọi GH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác GEF.

Thể tích hình nón:

b) Diện tích toàn phần của hình trụ:

Diện tích mặt cầu:

Diện tích toàn phần của hình nón:

Rõ ràng (đpcm)

Bài 45. (Trang 130 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong mỗi hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính:

a) Thể tích hình cầu

b) Thể tích hình trụ

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu

d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r cm và chiều cao 2r cm

e) Từ các kết quả a), b), c), d), hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.

Bài giải

a) Vì hình cầu có bán kính bằng r (cm) nên thể tích của hình cầu là:

b) Hình trụ có bán kính r (cm) và chiều cao bằng 2r (cm) (bằng đường kính hình cầu).

Vậy thể tích hình trụ là

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu là:

d) Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm) và chiều cao là 2r (cm) là:

e) Từ các kết quả ở câu a, b, c, d ta có hệ thức:

hay “Thể tích hình nón nội tiếp trong hình trụ bằng hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy”.