7.4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 2 trang 79-80. Bài học: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Bài 27. (Trang 79 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh .

Bài giải

Ta có: là góc tạo bởi tia tiếp tuyến BT và dây cung BP

  (1)

Ta có: là góc nội tiếp chắn cung nên:

   (2)

Vì cân tại O (CA = OP = bán kính) nên:

   (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: (đpcm)

 

Bài 28. (Trang 79 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Bài giải

Nối AB.

Ta có: là góc tạo bởi một tiếp tuyến và dây cung của (O’) chắn cung . là góc nội tiếp của đường tròn (O’) chắn cung .

Vậy   (1)

Ta có: là góc nội tiếp của (O) chắn cung nhỏ .

Góc là góc tạo bởi tiếp tuyến Bx và dây PB, chắn cung nhỏ

Vậy (2)

Từ (1) và (2) suy ra: , là hai góc so le trong.

Vậy (đpcm)

 

Bài 29. (Trang 79 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O’) cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O’) tại D.

Chứng minh

Bài giải

Trên đường tròn tâm O:

là góc nội tiếp chắn cung AB

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AD và dây AB

Trên đường tròn tâm O’ :

là góc nội tiếp chắn cung AB

là góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây AB

Xét và có:

Bài 30. (Trang 79 SGK Toán 9 – Tập 2)

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng một nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).

Gợi ý. Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.

Bài giải

Vẽ . Ta có   (1)

Theo giả thiết ta có:   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: .

Trong tam giác vuông AOH vuông tại H, ta có:

hay

Điều này chứng tỏ rằng hay Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A.

Bài 31. (Trang 79 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho đường tròn và dây cung . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính .

Bài giải

Ta có là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BC của (O)

Mà là tam giác đều nên

Ta có: . Vậy .

b) Chứng minh tương tự ta có:

Trong , ta có:

Vậy

 

Bài 32. (Trang 80 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T)

Bài giải

có góc là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của (O)

Ta có: là góc ở tâm của (O) nên: (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Vì TP là tiếp tuyến của (O) với P là tiếp điểm nên .

Trong tam giác vuông PTO, ta có:

hay

hay

Bài 33. (Trang 80 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh

Bài giải

Vì (gt) nên   (1)

Ta có là góc tạo bởi tiếp tuyến At và dây AB chắn cung của (O) và là góc nội tiếp của (O) chắn cung nên:

   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Xét hai tam giác AMN và ACB ta có:

: chung

Vậy đồng dạng

Suy ra hay

Bài 34. (Trang 80 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.

Chứng minh

Bài giải

Xét hai tam giác BMT và TMA, ta có:

chung

(cùng chắn cung nhỏ )

Vậy đồng dạng

Suy ra hay

Bài 35. (Trang 80 SGK Toán 9 – Tập 2)

Trên bờ biển có một hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mất người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km (h.30) ?

Hướng dẫn. Áp dụng kết quả của bài toán 34.

Bài giải

Áp dụng kết quả bài 34, ta có:

Suy ra

Tương tự ta tính được

Ta có

Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34,9 km thì người quan sát trên tàu bắt đầu thấy ngọn hải đăng.

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn