3.6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 1 trang 23-25. Bài học: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Bài 31. (Trang 22 SGK Toán 9 – Tập 2)

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm², và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tam giác đó giảm đi 26cm²

Bài giải

Gọi hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là x (cm) và y (cm)

Điều kiện:

Diện tích của tam giác vuông là .

Khi tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm , nghĩa là:

hay

Khi một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tam giác đó giảm đi , nghĩa là:

Ta có hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình, ta được:

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm và 12 cm.

Bài 32. (Trang 22 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai sau bao lâu mới đầy bể ?

Bài giải

Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể ; y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể .

Theo đề bài ta có:

Sau 1 giờ cả hai vòi chảy được: .

Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở vòi thứ hai thì sau  giờ nữa mới đầy bể, nghĩa là:

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được: (nhận).

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ mới đầy bể.

Bài 33. (Trang 24 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Bài giải

Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong x (giờ), người thứ hai hoàn thành công việc trong y (giờ).

Điều kiện  và . Ta có .

Theo đề bài ta có:

Trong 1 giờ người thứ nhất hoàn thành công việc, người thứ hai hoàn thành   công việc và hai người hoàn thành công việc, nghĩa là:

Khi người thứ nhất làm trong 3 giờ thì được công việc và người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc và cả hai người hoàn thành công việc, nghĩa là: .

Ta có hệ phương trình:

Đặt với

Hệ đã cho trở thành:

(thỏa mãn)

Do đó: (thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ và người thứ hai mất 48 giờ.

Bài 34. (Trang 24 SGK Toán 9 – Tập 2)

Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng : Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ?

Bài giải

Gọi x (luống) và y (cây) là số luống và số rau cải bắp trên một luống ở vườn nhà Lan lúc đầu. Khi đó số rau cải bắp trong vườn là x.y (cây). Điều kiện: .

Theo đề bài ta có:

Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây toàn vườn ít đi 54 cây , nghĩa là: .

Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây, nghĩa là: .

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được (nhận)

Vậy số rau trong vườn nhà Lan trồng được là: (cây)

Bài 35. (Trang 24 SGK Toán 9 – Tập 2)

(Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên là 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi ?

Bài giải

Gọi x (rupi) là giá mỗi quả thanh yên và y (rupi) là giá mỗi quả táo rừng thơm. Điều kiện:

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Cộng (1′) với (2′) vế theo vế, ta được: (nhận)

Thay vào (2), ta được: (nhận)

Vậy : thanh yên giá 3 rupi/quả, táo rừng thơm giá 10 rupi/quả.

Bài 36. (Trang 24 SGK Toán 9 – Tập 2)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *) :

Điểm số của mỗi lần bắn	10	9	8	7	6
Số lần bắn	25	42	*	15	*

Bài giải

Gọi x là số thứ nhất, y là số thứ hai. Điều kiên .

Theo đề bài ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được: (nhận); (nhận)

Vậy số thứ nhất là 14 và số thứ hai là 4.

Bài 37. (Trang 24 SGK Toán 9 – Tập 2)

Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Bài giải

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/giây); y (cm/giây).

Điều kiện: .

Khi chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường mà vật đi nhanh hơn đi được trong 20 giây hơn quãng đường vật kia cũng đi trong 20 giây đúng 1 vòng ( cm).

Ta có phương trình: .

Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây đúng 1 vòng.

Ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình, ta được: (nhận)

Vậy vận tốc của hai vật lần lượt là (cm/giây) và (cm/giây).

Bài 38. (Trang 24 SGK Toán 9 – Tập 2)

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Bài giải

Giả sử khi mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong x (phút), vòi thứ hai trong y (phút). Điều kiện:

Ta có: 1 giờ 20 phút = 80 phút.

Theo đề bài ta có:

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảu được bể, vòi thứ hai chảy được (bể) và trong 80 phút cả hai vòng cùng chảy đầy bể, nghĩa là:

Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được (bể), trong 12 phút vòi thứ hai chảy được (bể) và cả hai vòi chảy được (bể), nghĩa là:

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình, ta được: (nhận)

Vậy nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất trong 120 phút mới đầy bể, vòi thứ hai là 240 phút thì đẩy bể.

Bài 39. (Trang 25 SGK Toán 9 – Tập 2)

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi không kể thuế VAT người đó phải trả bao nhiêu cho mỗi loại hàng ?

Bài giải

Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu) đồng cho loại hàng thứ nhất; y (triệu) đồng cho loại hàng thứ hai.

Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT 10%) là (triệu) đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là (triệu) đồng.

Ta có phương trình:

Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là:

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình, ta được: (nhận)

Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai.

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Ôn tập chương III