7.8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 2 trang 91-92. Bài học: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Bài 61. (Trang 91 SGK Toán 9 – Tập 2)

a) Vẽ đường tròn tâm O. bán kính 2 cm

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn

Bài giải

a) Vẽ đường tròn

b) Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau

Nối A, B, C, D lại với nhau, ta được tứ giác ABCD là hình vuông cần vẽ. Hình vuông ABCD đã nội tiếp trong đường tròn .

c) Vẽ . Khi đó OH là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Vì tam giác OBC là tam giác vuông cân nên:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông HOB, ta có:

Vẽ đường tròn . Đường tròn này nội tiếp hình vuông ABCD, tiếp xúc với bốn cạnh của hình vuông tại trung điểm của mỗi cạnh.

Bài 62. (Trang 91 SGK Toán 9 – Tập 2)

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh

b) Vẽ tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ tiếp đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn .

Bài giải

a) Vẽ đoạn . Lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính bằng 3 cm và lấy C làm tâm vẽ cung tròn bán kính bằng 3cm. Chúng cắt nhau tại A.

Tam giác ABC là tam giác đều cần vẽ.

b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là 3 trung tuyến, 3 đường cao, 3 đường phân giác trong tam giác đều ABC)

Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác, ta có:

Trong đó

Vậy

c) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’

Ta có:

Vậy

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp .

Bài 63. (Trang 92 SGK Toán 9 – Tập 2)

Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

Bài giải

a)

Vẽ hình lục giác đều nội tiếp trong

Vì các cạnh của hình lục giác đều có độ dài bằng bán kính đường trong ngoại tiếp. Do đó, cách vẽ như sau:

Vẽ đường tròn . Trên đường tròn ta vẽ liên tiếp các cung AB, BC, CD, DE, EF, FA mà dây căng cung đó có độ dài bằng R.

Nối các điểm liên tiếp A, B, C, D, E, F ta được lục ) giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn

b)

Vẽ hình vuông nội tiếp trong

Vẽ hình như câu b) bài tập 61.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB, ta có:

Suy ra

c)

Vẽ tam giác đều nội tiếp trong :

Cách vẽ: Vẽ .

Trên đường tròn ta chia làm ba cung bằng nhau, mỗi cung có số đo bằng . Vẽ ba dây căng cung đó. Ta có tam giác đều nội tiếp trong

Tính AB theo R: Vì trong tam giác đều, đường cao cũng là đường phân giác và tâm đường tròn cũng là trọng tâm của tam giác.

Do đó:

Ta có:

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông HAB ta có:

Vậy

Bài 64. (Trang 92 SGK Toán 9 – Tập 2)

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ A, ba cung AB, BC, CD sao cho và .

a) Tứ giác ABCD là hình gì ?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Bài giải

a) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) nên:

Suy ra

Mặt khác và là hai góc so le trong.

Suy ra AB // CD.

Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song nên ABCD là hình thang, hơn nữa hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên nó là hình thang cân. Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân.

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I

Ta có góc CID là góc có đỉnh ở trong đường tròn nên:

Vậy

c) Vì nên AB = R

Vì nên (cạnh hình vuông).

Vì nên (cạnh tam giác đều).

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Độ dài đường tròn, cung tròn