7.6. Cung chứa góc

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 2 trang 86-87. Bài học: Cung chứa góc

Bài 44. (Trang 86 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho tam giác vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi

Bài giải

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

  (2)

Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:

Mà

Suy ra

Như vậy, điểm I nhìn đoạn BC cố định góc không đổi. Vậy quỹ tích của I là cung chứa góc không đổi dựng trên đoạn thẳng BC (một cung)

Bài 45. (Trang 86 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Bài giải

Vì ABCD là hình thoi, do đó:

hay

Như vậy, điểm O nhìn đoạn AB cố định dưới một góc . Do đó, quỹ tích của O là nửa đường tròn đường kính AB.

Bài 46. (Trang 86 SGK Toán 9 – Tập 2)

Dựng một cung chứa góc trên đoạn thẳng .

Bài giải

Ta dựng theo trình tự sau:

Dùng thước đo độ dài, ta dựng đoạn AB = 3cm

Dùng thước đo góc ta dựng góc .

Dựng tia Ay vuông góc Ax (dùng eke)

Dựng đường trung trực (d) của đoạn thẳng AB. Gọi O là giao điểm của Ay và (d)

Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA

Ta có cung AmB là cung chứa góc dựng trên đoạn AB

Bài 47. (Trang 86 SGK Toán 9 – Tập 2)

Gọi cung chứa góc ở bài tập 46 là . Lấy điểm nằm bên trong và điểm nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

a)

b)

Bài giải

a) Hình a

là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc .

Gọi A’; B’ theo thứ tự là giao điểm của với cung AmB

Vì là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, nên:

+ (một số dương)

+ (một số dương) (đpcm)

b) Hình b)

Điểm là điểm nằm ngoài đường tròn

Gọi và cắt đường tròn lần lượt tại A’, B’.

Vì là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên:

– (một số dương) (đpcm)

 

Bài 48. (Trang 87 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Bài giải

Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính nhỏ hơn BA

Giả sử AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B. Với T là tiếp điểm

Khi đó

Điểm T nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB

Trường hợp đường tròn tâm B, có bán kính bằng BA. Khi đó quỹ tích chỉ là điểm A.

 

Bài 49. (Trang 87 SGK Toán 9 – Tập 2)

Dựng tam giác ABC, biết và đường cao AH = 4cm

Bài giải

Các bước dựng bài toán

Dựng đường thẳng BC = 6cm

Dựng cung chứa góc trên đoạn thẳng BC.

Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một khoảng bằng 4cm, như sau:

Dựng đường trung trực của BC; gọi I là giao điểm của với BC, trên lấy điểm K sao cho .

Dựng đường thẳng vuông góc với tại K.

Gọi giao điểm của (d) và cung chứa góc là A và A’. Khi đó ta có hai tam giác ABC và A’BC đều thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 50. (Trang 87 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia IA lấy điểm I sao cho .

a) Chứng minh

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

Bài giải

Vì (góc nội tiếp đường tròn), nên trng tam giác vuông BMI ta có:

Suy ra

Vậy là một góc không đổi.

b) Tìm quỹ tích của I:

Phần thuận: Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc không đổi là

Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB.

Tuy nhiên, khi M trùng với điểm A thì cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến và . Vậy điểm I chỉ thuộc hai cung và .

Phần đảo: Lấy điểm I’ bất kì thuôc hoặc , I’A cắt đường tròn đường kính AB tại M’

Trong tam giác vuông BM’I’ ta có:

Do đó:

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung và chứa góc dựng trên đoạn thẳng cố định AB

Bài 51. (Trang 87 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với . Gọi H là giao điểm  của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài giải

Ta có là góc ở tâm và là góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung . Do đó:

Ta có:   (đối đỉnh)

Trong tứ giác AB’HC’, ta có:

Suy ra

Trong tam giác ABC có:

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nênL

Trong

Vậy   (3)

Từ (1), (2) và (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nàm trên cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng BC. Vậy năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài 52. (Trang 87 SGK Toán 9 – Tập 2)

“Góc sút” của quả phạt đền 11m là bao nhiêu độ ? Biết rằng chiều rộng của cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11 m.

Bài giải

Gọi A là vị trí đặt quả bóng sút phạt đền và bề rộng cầu môn là BC thì điểm A nằm trên đường trung trực của BC. Gọi H là trung điểm của BC và . Theo đề bài ta có:

Suy ra

Vậy “góc sút” quả phạt đền là

Dựng cung chứa góc trên đoạn BC thì bất cứ điểm nào trên cung chứ góc cũng có “góc sút” như quả phạt đền 11 m

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Tứ giác nội tiếp