6.3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 1 trang 106. Bài học: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 12. (Trang 106 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB = 8cm

a) Khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Bài giải

a) Vẽ OH vuông góc AB

Khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến dây AB và .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông HAB, ta có:

Vậy

b) Vẽ

Xét tứ giác OHIK, ta có:

Vậy OHIK là hình chữ nhật (1)

Ta có:   (2)

Vì hình chữ nhật OHIK có hai cạnh liên tiếp bằng nhau nên OHIK là hình vuông

Suy ra:

Vì (khoảng cách từ tâm đến 2 dây băng nhau)

Suy ra (đpcm)

Bài 13. (Trang 106 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK;

b) EA = EC.

Bài giải

a) Trong đường tròn (O), ta có AB = CD (gt)

(hai dây cung bằng nhau thì cách đều tâm đường tròn)

Xét hai tam giác vuông OEH và OEK có:

OK = OH (cmt)

OE: cạnh chung

Vậy . Suy ra (dpcm) (1)

b) Vì nên

Và nên

Suy ra

Lấy (1) cộng với (2) theo vế, ta có:

hay (dpcm)

Bài 14. (Trang 106 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40 cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22 cm. Tính độ dài dây CD

Bài giải

Vẽ

Tam giác vuông AHO cho ta:

Suy ra:

Vẽ .

Xét tứ giác OHAI, ta có:

Vậy tứ giác OHAI là hình chữ nhật

và

Tương tự vẽ

Tứ giác KOIM có:

Vậy tứ giác KOIM là hình chữ nhật

Và

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông KOC, ta có:

Ta có:

Vậy

Bài 15. (Trang 106 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho hình 70 trong đó hai cung tròn cùng tâm là O. Cho biết

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK;

b) ME = MF;

c) MH = MK.

Bài giải

a) Trong đường tròn nhỏ tâm O, theo đề bài ta có:

Suy ra

b) Trong đường tròn nhỏ tâm O, theo câu a) ta có:

Suy ra

c) Trong đường tròn lớn tâm O, ta có:

Suy ra hay

Bài 16. (Trang 106 SGK Toán 9 – Tập 1)

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Bài giải

Kẻ

Trong tam giác vuông HOA vuông tại H thì OA là cạnh huyền nên :

Ta có: OA là khoảng cách từ tâm O đến dây BC và OH là khoảng cách tâm O đến dây EF, mà  nên .

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.