7.3. Tính chất đường phân giác của tam giác

ÔN TẬP: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho có Tính độ dài đoạn DC.

Bài giải:

Theo giải thiết

.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm, đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE. Tính các độ dài DB, EB.

Bài giải:

Từ , ta tính được DB = 4cm; EB = 20cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Tính độ dài AI.

Bài giải:

Gọi H là giao điểm của AI và BC. Tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AH cũng là đường cao.

Theo định lí Py- ta- go, ta có: nên AH = 8cm.

Theo tính chất đường phân giác

nên , tức là hay .

Vậy .

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, các đường phân giác của góc BMA và góc CMA cắt AB, AC tương ứng tại D và E.

a) Chứng minh rằng DE // BC.

b) Gọi O là giao điểm của AM và DE. Chứng minh OD = OE.

Bài giải:

a) DM là đường phân giác của nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có (1)

Tương tự EM là đường phân giác nên   (2)

Mà MB = MC nên từ (1) và (2) (định lí Ta lét đảo)

b) mà  và .

Do đó mà BM = CM (giả thiết) .

Bài 2: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua một đỉnh của một tam giác mà chia cạnh dối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy thì nó là đường phân giác trong (hoặc ngoài) của góc tại đỉnh ấy.

Bài giải: 

a)

Giả sử là điểm chia trong của cạnh của cho trước sao cho:

.

Ta đi chứng minh là đường phân giác trong của góc đỉnh của .

Qua kẻ đường thẳng song song với cạnh cắt đường thẳng tại điểm

Theo hệ quả của định lí Ta-lét trong (có ), ta có .

Mà cân tại .

Mặt khác: (hai góc so le trong do ) nên .

Do là tia nằm giữa hai tia và ( là điểm chia trong của cạnh ) nên là đường phân giác trong của đỉnh của .

b)

Giả sử điểm là điểm chia ngoài của cạnh của sao cho:

Kẻ (với )

Theo hệ quả của định lí Ta – lét trong , ta có:

Từ (1)(2) cân tại .

Mặt khác: (hai góc so le trong do ).

.

Do là tia nằm giữa hai tia và ( là tia đối của tia và là điểm chia ngoài của cạnh ) nên là đường phân giác ngoài của góc đỉnh của .

Xem thêm: Khái niệm hai tam giác đồng dạng