5.4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang

ÔN TẬP: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC và BC. Gọi I là giao điểm của AP và MN. Chứng minh IA = IP; IM = IN.

Bài giải:

Xét tam giác ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

là đường trung bình của tam giác ABC.

hay (do I thuộc MN)

Do đó MI là đường trung bình của tam giác ABP.

là trung điểm của AP hay IA = IP và .

Tương tự NI cũng là đường trung bình của .

mà .

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho . Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM.

Bài giải:

Gọi E là trung điểm của DC.

Trong tam giác BDC ta có: M là trung điểm của BC, E là trung điểm của CD

ME là đường trung bình của tam giác BCD.

ME // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

DI // ME.

Theo đề bài ta có , ta lại có .

Trong tam giác có là trung điểm của , , nằm trên

.

Bài 2: Cho hình thang () và

a) Chứng minh rằng  là tia phân giác của .

b) Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng thẳng hàng.

Bài giải:

a) Ta có nên cân tại B .

(so le trong)

Do đó là tia phân giác của .

b) ) M, E lần lượt là trung điểm của AD và AC nên ME là đường trung bình của .

   (1)

Tương tự ta có NE là đường trung bình của   (2)

Từ (1) và (2) ME và NE phải trùng nhau (tiên đề Ơ clit) hay ba điểm M, E, N thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có M, F, E thẳng hàng. Vậy bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:

a)

b) cân.

c) .

Bài giải:

a) Xét và có:

AB = AC

Góc A chung

AE = AD

(c.g.c)

b) Ta có  (đối đỉnh) (cùng phụ với và )

mà hay cân tại D.

Bài 2: Đường cao xuất phát từ đỉnh góc tù của một hình thang cân chia đáy lớn thành hai đoạn thẳng có đội dài và Tính độ dài trung bình của hình thang đó.

Bài giải: 

– Xét hai tam giác vuông và ta có:

Vậy  (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: .

Ta có:

cm

Suy ra: (do tính chất đoạn chắn)

– Gọi là đường trung bình của hình thang, ta có:

Vậy .

Xem thêm: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang