5.10. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

ÔN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G; E là trung điểm của AG, các đường thẳng song song với BC và qua E và G lần lượt cắt AB tại các điểm F và H. Chứng minh rằng AF = FH = HB.

Bài giải:

Gọi D là trung điểm của BC, ta có AG = 2DG (do G là trọng tâm của tam giác ABC)

Ta có AG = 2AE = 2EG (do E là trung điểm AG)

 AE = EG = DG

Xét tam giác AHG có:

E là trung điểm AG.

EF song song HG.

 F là trung điểm của AH.

AF = FH (1)

Mặt khác ta lại có các đường thẳng EF, HG, BC song song với nhau.

mà EG = GD nên EF, HG, BC là các đường thẳng song song cách đều.

nên FH = HB (2)

Từ (1) và (2) ta có AF = FH = HB.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tìm vị trí của M trên BC sao cho độ dài DE là nhỏ nhất.

Bài giải:

Dễ thấy rằng tứ giác ADME có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật AM = DE.

Nên vị trí điểm M sao cho DE nhỏ nhất tức là vị trí điểm M sao cho AM nhỏ nhất.

Mà AM nhỏ nhất chỉ khi M là hình chiếu của A lên BC.

Vậy DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên BC hay AM vuông góc với BC.

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước:

Bài giải: 

a) Thuận: Giả sử đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng là .

Giả sử là điểm cách đều hai đường thẳng và ;  và là khoảng cách từ điểm đến .

Ta có: mà (không đổi).

Vậy điểm nằm trên đường thẳng cách đường thẳng một khoảng

(có thể nói nằm trên đường thẳng song song cách đều hai đường thẳng )

b) Đảo: Ngược lại, lấy điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d và vẽ ⊥ , ⊥ .

Tứ giác và là hình chữ nhật nên: .

Do đó P cách đều hai đường thẳng song song

Vậy tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng song song là đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng .

Xem thêm: Hình thoi