5.11. Hình thoi

ÔN TẬP: HÌNH THOI

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo BD = 6cm; AC = 8cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi.

Bài giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Do ABCD là hình thoi

ABCD là hình thoi hay

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AOB ta được:

.

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD; P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi M là giao điểm của AP và BQ, N là giao điểm của CQ và DP. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

Bài giải:

Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC nên AQ = QD = BP = PC.

và AQ // CP, DQ // BP.

Do đó các tứ giác APCQ và BPDQ là hình bình hành.

AP // CQ, BQ // DP.

MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác tứ giác ABPQ là hình chữ nhật (AQ // BP, AQ = BP)

MQ = MP.

Vậy MNPQ là hình thoi.

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Hình thoi ABCD có cạnh bằng 2cm,  . Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.

Bài giải:

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD và tại O, AC là phân giác của .

cân tại A có  nên đều .

Vì O là trung điểm của BD nên .

Xét có nên:

.

Vậy độ dài các đường chéo của hình thoi là 2cm và .

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của tam giác ABC lấy ME = MA.

a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi.

b) Chứng minh C là trung điểm của DE.

Bài giải:

a) Ta có MB = MC, MA = ME nên tứ giác ABEC là hình bình hành. (1)

Mặt khác cân có trung tuyến AM đồng thời là đường cao hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABEC là hình thoi.

b) Ta có CD // AB, CE // AB

CE và CD trùng nhau. Vậy C, D, E thẳng hàng.

ABEC là hình thoi   (3)

ABCD là hình bình hành   (4)

Từ (3), (4) suy ra CD = CE hay C là trung điểm của DE.

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Cho tam giác cân (), là trung điểm của cạnh . Qua vẽ đoạn thẳng song song với cạnh và cắt các cạnh này theo thứ tự tại . Chứng minh rằng là hình thoi.

Bài giải:

Trong tam giác cân ta có: và

Vậy là đường trung bình của .

Suy ra: và (1)

Tương tự, và

Vậy là đường trung bình của

Suy ra: và (2)

Từ (1)(2) suy ra

Vậy tứ giác là hình thoi (đpcm).

Bài 2: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng .

Bài giải:

Ta có M là trung điểm của BE, I là trung điểm của DE.

MI là đường trung bình của

và

Tương tự và .

Do đó MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành.   (1)

Chứng minh tương tự ta có IN là đường trung bình của tam giác CDE.

mà    (2)

Từ (1) và (2) Tứ giác MINK là hình thoi.

Xem thêm: Hình vuông