7.7 Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 7 tập 2 trang 76, 77. Bài học Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 44. (Trang 76 SGK Toán 7 – Tập 2)

Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?

Bài giải

Vì M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.

Mà MA = 5cm nên MB = 5cm.

 

Bài 45. (Trang 76 SGK Toán 7 – Tập 2)

Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình bên đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Gợi ý: Sử dụng định lý 2.

 

Bài giải

Xem hình trên theo cách vẽ ta có:

Vì hai đường tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau nên: PM = PN và MQ = QN.

Điều này chứng tỏ rằng cả P và Q cùng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng MN. Vậy điểm P và điểm Q nằm trên đường trung trực của AB hay PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. (đpcm)

Bài 46. (Trang 76 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Bài giải

– Vì cân tại A nên AB = AC. Suy ra điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. (1)

– Tương tự: Điểm D và E cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC hay ba điểm A, D, E thẳng hàng (đpcm)

Bài 47. (Trang 76 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh .

Bài giải

– Vì M nằm trên đường thẳng (d) trung trực của đoạn AB nên MA = MB.

Vì N nằm trên đường thẳng (d), trung trực của đoạn AB nên NA = NB.

– Xét hai tam giác AMN và BMN, có:

MA = MB

NA = NB

MN: chung

Vậy (đpcm)

Bài 48. (Trang 77 SGK Toán 7 – Tập 2)

Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.

Bài giải

Ta có: (gt) và nên là đường trung trực của đoạn thẳng ML.

Gọi I’ là giao điểm NL và

• Nếu thì:

(vì I’ nằm trên nên )

• Nếu , xét tam giác LIN:

(vì I nằm trên nên )

Bài 49. (Trang 77 SGK Toán 7 – Tập 2)

Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai điểm A và B (hình dưới).

Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất.

 

Bài giải

Giả sử bờ sông là đường thẳng a. Cần tìm vị trí của điểm C sao cho AC + CB nhỏ nhất.

Cách xác định vị trí điểm C như sau: Ta lấy một điểm A’ sao cho đường thẳng a là đường trung trực của AA’. Nối A’ với B cắt đoạn thẳng a tại C, đó là vị trí cần để xây dựng trạm bơm.

Thật vậy, lấy một điểm M bất kì trên a

Khi đó:

Trong , ta có:

hay

Ta có MA + MB nhỏ nhất là bằng khi M là giao điểm của đường thẳng a và đoạn thẳng AB. Đó là vị trí của điểm C trên bờ sông (như hình vẽ)

 

Bài 50. (Trang 77 SGK Toán 7 – Tập 2)

Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư (hình vẽ)

Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.

 

Bài giải

Giả sử gọi 2 điểm dân cứ đó là A và B. Để xây dựng trạm y tế bên đường và cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB tại giao điểm với con đường.

 

Bài 51. (Trang 77 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình dưới minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua P và vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:

(1): Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp cho nó cắt d tại hai điểm A và B.

(2): Vẽ hai đường tròn với bán kính như nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C.

(3) Vẽ đoạn thẳng PC.

Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d.

Đố: Tìm thêm một cách vẽ nữa cũng bằng thước và compa.

 

Bài giải

a)

A, B nằm trên cung tròn có tâm P nên PA = PB.

Do đó P nằm trên đường trung trực của AB (theo định lí 2)

C là giao điểm của 2 cung có bán kính bằng nhau có tâm tại A và tại B nên CA = CB.

Do đó C nằm trên đường trung trực của AB (theo định lí 2)

P, C đều nằm trên đường trung trực của AB.

Đường thẳng CP là đường trung trực của AB.

Do đó:

b) Một cách vẽ khác:

– Lấy hai điểm A, B bất kì trên d.

– Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP, cung tròn tâm B bán kính BP. Hai cung tròng cắt nhau tại C (C khác P)

– Vẽ đường thẳng PC. Khi đó PC là đường đi qua P và vuông góc với d.

CHỨNG MINH:

PA = CA (vì P, C cùng thuộc cung tròn tâm A bán kính PA)

A thuộc đường trung trực của PC (theo định lí 2)

PB = CD (vì P, C cùng thuộc cung tròn tâm B bán kính PB)

B thuộc đường trung trực của PC (theo định lí 2)

AB là đường trung trực của PC

hay

 

Xem thêm Hướng dẫn giải bài tập sgk toán 7 Tính chất ba đường trung trực của tam giác.