7.4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 7 tập 2 trang 66, 67. Bài học Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Bài 23. (Trang 66 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH ( hình bên)

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

Bài giải

Khẳng định là khẳng định đúng. Các khẳng định còn lại đều sai.

 

Bài 24. (Trang 66 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho hình bên. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a)

b) ;

Bài giải

a)

b)

Bài 25. (Trang 67 SGK Toán 7 – Tập 2)

Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm; AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài giải

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có:

(cm)

Mà (cm)

Ta có (cm).

 

Bài 26. (Trang 67 SGK Toán 7 – Tập 2)

Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Bài giải

– Vì cân tại A nên:

– Xét hai tam giác NBC và MBC, ta có:

BC: cạnh chung

Vậy

Suy ra NC = MB (đpcm)

Bài 27. (Trang 67 SGK Toán 7 – Tập 2)

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì đó là tam giác cân.

Bài giải

Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Do đó G là trọng tâm của

– Ta có:

Ta có:

Xét hai tam giác BGN và CGM, ta có:

Vậy cân tại A (đpcm)

Bài 28. (Trang 67 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho tam giác DEF cân tại D với trung tuyến DI.

a) Chứng minh .

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm; EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Bài giải

a) Vì DI là trung tuyến nên IE = IF

Xét hai tam giác DEI và DFI, ta có:

Vậy

b) Vì

Hơn nữa và và hai góc kề bù nên

hay

Vậy và là những góc vuông.

c) Theo chứng minh ở câu b) tam giác DEI vuông ở I có:

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông DEI, ta có:

Bài 29. (Trang 67 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: GA = GB = GC.

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26.

Bài giải

Vì là tam giác đều nên

– Xét cân tại A

(hai trung tuyến)

và

– Xét , ta có:

Vậy cân tại B.

(hai trung tuyến)

Và

Từ (1) và (2) ta suy ra: (đpcm)

Bài 30. (Trang 67 SGK Toán 7 – Tập 2)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm AG’.

a) So sánh các cạnh của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Bài giải

a) So sánh các cạnh của với các đường trung tuyến của .

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

G là trọng tâm của tam giác ABC

Mà là trung điểm của

– Vì G là trọng tâm của

– Ta có: (do G là trọng tâm) và (giả thiết)

, do đó

Xét có:

GM = MG’ (chứng minh trên)

MB = MC (M là trung điểm BC)

(hai góc đối đỉnh)

Vậy (c-g-c)

(2 cạnh tương ứng)

Mà (G là trọng tâm tam giác ABC)

Vậy

Hay mỗi cạnh của bằng đường trung tuyến của

b) So sánh các đường trung tuyến của với các cạnh của .

– Ta có: BM là đường trung tuyến

Mà M là trung điểm của BC nên

Gọi I là trung điểm BG

Vì (do I là trung điểm BG)

(G là trọng tâm)

Xét có:

IG = GN (chứng minh trên)

GG’ = GA (giả thiết)

(hai góc đối đỉnh)

Vậy (c-g-c)

(2 cạnh tương ứng)

– Gọi K là trung điểm là trung tuyến của

Vì là trọng tâm tam giác ABC)

(chứng minh trên)

Mà K là trung điểm

Vì (chứng minh trên)

(hai góc tương ứng)

(đồng vị)

Xét có:

EG = KG’ (chứng minh trên)

AG = GG’ (giả thiết)

(chứng minh trên)

Vậy (c-g-c)

Mà

Vậy

Hay mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC.

Xem thêm Hướng dẫn giải bài tập sgk toán 7 Tính chất tia phân giác của một góc.