7.5. Tính chất tia phân giác của một góc

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 7 tập 2 trang 70, 71. Bài học Tính chất tia phân giác của một góc.

Bài 31. (Trang 70 SGK Toán 7 – Tập 2)

Hình vẽ bên cho biết cách vẽ tia phân giác của góc bằng thước hai lề:

– Áp dụng một lề của thước vào , kẻ đường thẳng a theo lề kia.

– Làm tương tự với cạnh , ta kẻ được đường thẳng b.

– Gọi M là giao điểm của a và b, ta có là tia phân giác của góc

Hãy chứng minh tia được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc .

(Gợi ý: Dựa vào bài tập 12 về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song chứng minh các khoảng cách từ M đến và đến bằng nhau; sau đó áp dụng định lí 2)

Bài giải

Chứng minh là tia phân giác của .

Ta có:

– Xét hai tam giác OCM và ODM, ta có:

: cạnh huyền chung

Vậy

Vậy M cách đều hai cạnh của góc

 

Bài 32. (Trang 70 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài và (hình vẽ) nằm trên tia phân giác của góc A.

Bài giải

Ta kéo dài tia AB thành tia Ax và tia AC thành tia Ay.

Vẽ đường phân giác của và chúng cắt nhau tại M.

Vẽ và và

– Vì M nằm trên tia phân giác của góc nên:

– Vì M nằm trên tia phân giác của góc nên:

Từ (1) và (2) ta suy ra:

Theo định lí 2 thì điểm M nằm trên tia phân giác của góc (đpcm)

 

Bài 33. (Trang 70 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại O. (hình dưới)

a) Chứng minh hai tia phân giác của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng: Nếu M thuộc đường thẳng hoặc thuộc đường thẳng thì M cách đều hai đường thẳng và .

c) Chứng minh rằng: Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng thì M thuộc đường thẳng hoặc thuộc đường thẳng

d) Khi thì các khoảng cách từ M đến và bằng bao nhiêu?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau

 

 

Bài giải

a) Ta có là hai góc kề bù, là tia phân giác của là tia phân giác của

Vì là hai góc kề bù nên:

hay

Điều này chứng tỏ rằng hai tia phân giác của một góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Nếu M thuộc đường thẳng hoặc thuộc đường thẳng , thế thì điểm M nằm trên một trong các tia nghĩa là điểm M nằm trên tia phân giác của góc

c) Xét điểm M cách đều hai đường thẳng và

– Nếu điểm M nằm trong góc thì điểm M thuộc tia phân giác

– Nếu điểm M nằm trong góc thì điểm M thuộc tia phân giác

– Nếu điểm M nằm trong góc thì điểm M thuộc tia phân giác

– Nếu điểm M nằm trong góc thì điểm M thuộc tia phân giác

Vậy điểm M thuộc đường thẳng hoặc thuộc đường thẳng

d) Khi thì các khoảng cách từ M đến và đều bằng 0 (đơn vị độ dài)

e) Từ kết quả câu c) và câu d) ta có nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau và là các đường phân giác tạo bởi các góc của hai đường thẳng đó.

Bài 34. (Trang 71 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho góc khác góc bẹt. Trên tia lấy hai điểm A và B, trên tia lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đọa thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:

a) BC = AD;              b) IA = IC, IB = ID;

c) Tia là tia phân giác của

Bài giải

a) Xét hai tam giác OCB và OAD, ta có:

OC = OA (gt)

: góc chung

OB = OD (gt)

Vậy

Suy ra BC = AD (đpcm)

b) – Vì nên

– Ta có:

– Ta có: (2 góc kề bù)

Xét hai tam giác AIB và CID, ta có:

Vậy

Suy ra (đpcm)

c) Xét hai tam giác OAI và OCI, ta có:

Vậy

Suy ra

Hay tia OI là tia phân giác của góc (đpcm)

Bài 35. (Trang 71 SGK Toán 7 – Tập 2)

Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (hình bên) và một chiếc thước thẳng có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này?

Gợi ý: Áp dụng bài tập 34.

Bài giải

– Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng (Áp dụng bài 34 ta coi mảnh sắt có dạng như góc )

– Trên cạnh thứ nhất lấy hai điểm phân biệt A, B; trên cạnh thứ hai lấy hai điểm C, D sao cho OA = OC; OB = OD.

– Gọi I là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng OI chính là tia phân giác của góc này.

– Chứng minh tương tự bài 34 SGK Toán 7.

Xét có:

+) OA = OC (giả thiết)

+) OD = OB (giả thiết)

+) là góc chung.

Vậy (c-g-c)

Vì nên và

Ta có: OA + AB = OB

Ta có: (2 góc kề bù)

* Xét ta có:

+) AB = CD (chứng minh trên)

+) (chứng minh trên)

+) (chứng minh trên)

Vậy (g-c-g)

(hai cạnh tương ứng)

* Xét ta có:

+) OA = OC (giả thiết)

+) (chứng minh trên)

+) IA = IC (chứng minh trên)

Vậy (c-g-c)

là phân giác của

 

Xem thêm Hướng dẫn giải bài tập sgk toán 7 Tính chất ba đường phân giác của một tam giác.