7.8. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 7 tập 2 trang 79, 80. Bài học Tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Bài 52. (Trang 79 SGK Toán 7 – Tập 2)

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.

Bài giải

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực, ta có:

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC, ta có:

 cạnh chung

Vậy .

Hay tam giác cân tại (đpcm)

Bài 53. (Trang 80 SGK Toán 7 – Tập 2)

Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng (hình vẽ). Phải chọn vị trí của giếng ở đâu để các khoảng cách từ giếng tới các nhà bằng nhau?

 

Bài giải

Giả sử ba ngôi nhà xây dựng ở ba điểm A, B, C tạo thành tam giác ABC.

Để khoảng cách từ giếng tới ba nhà bằng nhau thì vị trí của giếng phải là giao điểm I của ba đường trung trực của ba cạnh của tam giác ABC. (Vì giao điểm của 3 đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác ABC)

Bài 54. (Trang 80 SGK Toán 7 – Tập 2)

Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác trong các trường hợp sau:

a) đều nhọn.

b)

c)

Bài giải

a) Trường hợp đều nhọn.

– Cách dựng: Vẽ tam giác ABC có 3 góc đều nhọn.

– Dựng đường trung trực của cạnh AB và BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O. Vậy O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C. Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA, đó là đường tròn cần dựng.

* Chứng minh: Vì O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và BC nên: OA = OB = OC.

Do đó O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Vậy đường tròn tâm O dựng được thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) c) Dựng tương tự như câu a)

* Chú ý: a) Trường hợp đều nhọn, tâm O nằm trong tam giác ABC.

b) Trường hợp , tâm O trùng với trung điểm cạnh huyền BC của tam giác ABC.

c) Trường hợp , tâm O nằm ngoài tam giác ABC.

Bài 55. (Trang 80 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho hình bên

Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh:

Bài giải

Nối B và C với D, ta có: Tam giác IBD vuông tại I, do đó

– Xét tam giác ABD, ta có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Vậy tam giác ABD cân tại D.

Vì DI là đường trung tuyến của tam giác cân ABD nên cũng là đường phân giác

– Tương tự tam giác ADC cân tại D. Suy ra đường trung tuyến cũng là đường phân giác

– Vì

Mà là hai góc so le trong

– Ta có:

Vậy góc hay là góc bẹt.

Suy ra ba điểm thẳng hàng (đpcm).

Bài 56. (Trang 80 SGK Toán 7 – Tập 2)

Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó. Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của tam giác vuông.

Bài giải

Dựa vào kết quả bài 50, ta có: Ba điểm B, D, C thẳng hàng (1)

Vì cân tại D nên

và cân tại D nên

Từ (1) và (2) suy ra: “Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền tam giác đó”.

Vì ba điểm thẳng hàng nên: .

Ta còn có: (do (2))

Suy ra

hay

 

Bài 57. (Trang 80 SGK Toán 7 – Tập 2)

Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (hình vẽ).

Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

 

Bài giải

Vì đường viền ngoài của chi tiết máu là đường tròn nên để xác định bán kính đường tròn, ta làm như sau:

Ta vẽ đường viền ngoài của chi tiết máy đó lên tờ giấy, ta vẽ .

Vẽ trung trực của 2 cạnh AB, BC của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại O.

Điểm O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Lúc đó bán kính của đường tròn là OA hoặc OB hoặc OC mà ta cần xác định.

Xem thêm Hướng dẫn giải bài tập sgk toán 7 Tính chất ba đường cao của tam giác.