7.3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 7 tập 2 trang 63, 64. Bài học Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác.

Bài 15. (Trang 63 SGK Toán 7 – Tập 2)

Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:

a) 2cm, 3cm, 6cm;

b) 2cm, 4cm, 6cm;

c) 3cm, 4cm, 6cm.

 

Bài giải

a) Không có một tam giác mà ba cạnh lần lượt là: 2cm, 3cm, 6cm vì có cạnh lớn nhất lớn hơn tổng hai cạnh kia:

b) Không có một tam giác nào mà ba cạnh là 2cm, 4cm, 6cm vì có một cạnh bằng tổng hai cạnh kia, đó là

c) Có một tam giác mà ba cạnh là 3cm, 4cm, 6cm vì cạnh lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia: .

Bài 16. (Trang 63 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho tam giác với hai cạnh . Hãy tìm độ dài cạnh , biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác là tam giác gì?

Bài giải

Ta biết rằng trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu hai cạnh và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Do đó, trong tam giác với cạnh thì cạnh chỉ có thể là

Thật vậy: .

Hay: .

Vì là số nguyên nên

Bài 17. (Trang 63 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.

a) Hãy so sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh: MA + MB < IB + IA.

b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh: IB + IA < CA + CB.

c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.

Bài giải

a) Trong tam giác MIA, ta có: MA < MI + IA.

Cộng MB vào hai vế, ta có: MA + MB < MA + MI + IA.

hay MA + MB < IB + IA (đpcm)

b) Trong tam giác BIC, ta có: IB < IC + CB

Cộng IA vào hai vế, ta có: IB + IA < IC + CB + IA.

Hay IB + IA < IC + IA + CB

hay IB + IA < CA + CB (đpcm).

c) Ta có: MA + MB < IB + IA (kết quả câu a)

và IB + IA < CA + CB (kết quả câu b)

Do tính chất bắc cầu, ta suy ra được: MA + MB < CA + CB (đpcm) 

Bài 18. (Trang 63 SGK Toán 7 – Tập 2)

Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) 2cm; 3cm; 4cm;

b) 1cm; 2cm; 3,5cm;

c) 2,2cm; 2cm; 4,2cm.

Hãy vẽ các tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích.

Bài giải

a) Có một tam giác mà ba cạnh là 2cm; 3cm; 4cm vì trong bộ ba có cạnh lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh kia:

* Cách vẽ: Vẽ đoạn BC = 4cm. Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng 3cm và lấy C làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng 2cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại A và A’.

Ta có hoặc là tam giác phải vẽ.

b) Không có tam giác nào mà ba cạnh là 1cm; 2cm và 3,5cm vì trong bộ ba đó có cạnh lớn nhất lớn hơn tổng hai cạnh kia:

c) Không có tam giác nào mà ba cạnh là 2,2cm; 2cm và 4,2cm vì trong bộ ba đó có một cạnh bằng tổng của hai cạnh kia:

Bài 19. (Trang 63 SGK Toán 7 – Tập 2)

Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.

Bài giải

Cạnh đáy của tam giác cân không thể là cạnh BC = 7,9cm được vì khi đó hai cạnh bên AB = AC = 3,9cm có AB + AC < BC (). Vô lí (vì không vẽ được ).

Do đó cạnh đáy chỉ có thể là cạnh BC = 3,9cm và hai cạnh bên AB = AC = 7,9cm.

Bài 20. (Trang 64 SGK Toán 7 – Tập 2)

Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:

Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng

a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở bài 1 để chứng minh

b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.

Bài giải

a) Ta biết rằng trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

– Trong tam giác vuông HAB, ta có AB > BH (1)

– Trong tam giác vuông HAC, ta có AC > HC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BH + HC

hay AB + AC > BC (đpcm)

b) * Chứng minh: AC + BC > AB.

Vì trong có BC là cạnh lớn nhất nên BC > AB.

Vì AC > 0 nên BC + AC > AB (đpcm)

* Chứng minh: AB + BC > AC

Vì trong có BC là cạnh lớn nhất nên BC > AC

Vì AB > 0 nên  BC + AB > AC (đpcm)

Bài 21. (Trang 64 SGK Toán 7 – Tập 2)

Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai điểm A và B (hình bên). Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về khu dân cư, sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.

 

Bài giải

Giả sử bờ sông là đường thẳng a.

Cần tìm vị trí của điểm C sao cho AC + CB nhỏ nhất.

Cách xác định vị trí điểm C như sau: Ta lấy một điểm A’ sao cho đường thẳng a là đường trung trực của AA’. Nối A với B cắt đường thẳng a tại C, đó là vị trí cần để xây dựng trạm bơm.

Thật vậy, lấy một điểm M bất kì trên đường trung trực của .

Khi đó:

Trong , ta có:

Ta có MA + MB nhỏ nhất là bằng A’B khi M là giao điểm của đường thẳng a và đoạn thẳng AB.

Đó là vị trí của điểm C trên bờ sông (như hình vẽ)

Bài 22. (Trang 64 SGK Toán 7 – Tập 2)

Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác;

biết rằng: ; (như hình)

a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?

b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?

 

Bài giải

Để trả lời câu hỏi của bài toán, ta cần xét khoảng cách

Trong , ta có: .

hay .

hay .

a) Nếu máy phát sóng đặt ở C có bán kính hoạt động bằng thì ở B không nhận được tín hiệu vì

b) Nếu máy phát sóng đặt ở C có bán kính hoạt động bằng thì ở B nhận được tín hiệu vì

Xem thêm Hướng dẫn giải bài tập sgk toán 7 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.