7.2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 7 tập 2 trang 59, 60. Bài học Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
Nội dung chính
Bài 8. (Trang 59 SGK Toán 7 – Tập 2)
Cho hình dưới, biết rằng 
.
Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng, tại sao?
a) 
b) 
.
c) 
Bài giải
Câu c) 
đúng.
Vì theo định lí 2, trong hai đường xiên kẻ từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng BC, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. Vậy 
.
Bài 9. (Trang 59 SGK Toán 7 – Tập 2)
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, Ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C,… (hình dưới)
Hỏi rằng bạn Nam tập như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
Bài giải
Theo hình vẽ các điểm A, B, C, D nằm trên một đường thẳng (ta gọi là đường thẳng d) và điểm M nằm ngoài đường thẳng đó. MA là đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng d. Các đoạn thẳng MB, MC, MD là các đường xiên kẻ từ M lần lượt đến B, C và D.
Ta có AB, AC, AD lần lượt là hình chiếu của MB, MC, MD xuống d.
Từ hình vẽ ta có AD > AC > AB suy ra MD > MC > MB (Theo định lí 2: đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn) (1)
Theo định lí 1 đường vuông góc là đường ngắn nhất nên: MA < MB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD > MC > MB > MA.
Điều đó có nghĩa là ngày hôm sau bạn Nam bơi xa hơn ngày hôm trước, tức là bạn Nam tập đúng mục đích đề ra.
Bài 10. (Trang 60 SGK Toán 7 – Tập 2)
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Bài giải
Xét tam giác 
cân tại 
Gọi 
là điểm bất kì của cạnh đáy 
(giả sử không trùng với 
hoặc 
). Kẻ đường cao 
, ta có:
Nếu 
thì 
(vì 
)
Nếu D không trùng với H, giả sử D nằm giữa B và H thì: 
Vậy, trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Bài 11. (Trang 60 SGK Toán 7 – Tập 2)
Một cách chứng minh khác của định lí 2: Cho hình bên. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện của một tam giác chứng minh rằng:
Nếu 
thì 
Hướng dẫn:
a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?
b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Bài giải
Trong tam giác ABC vuông tại B nên 
phải là góc nhọn. Suy ra 
(là góc ngoài của tam giác vuông ABC) phải là góc tù.
Trong tam giác ACD có là góc tù nên 
phải là góc nhọn, nên cạnh đối điện với góc lớn hơn phải là cạnh lớn hơn. Vậy 
Bài 12. (Trang 60 SGK Toán 7 – Tập 2)
Cho hình dưới. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng song song a và b.
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gõ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như hình dưới có đúng không?
Bài giải
Ta biết rằng độ dài đoạn thẳng AB (đoạn vuông góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Vì tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Vậy để đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh của tấm gỗ vì đó chính là chiều rộng của tấm gỗ.
Đặt thước như hình trên là không đúng vì thước không vuông góc với hai cạnh của tấm gỗ.
Bài 13. (Trang 60 SGK Toán 7 – Tập 2)
Cho hình dưới. Hãy chứng minh rằng:
a) 
b) 
Bài giải
a) Ta có 
lần lượt là hình chiếu của hai đường xiên 
lên đường thẳng 
Vì 
nên 
(1).
b) Ta cũng có 
lần lượt là hình chiếu của 
lên đường thẳng AB.
Vì 
(2)
Từ (1) và (2) ta có: 
(đpcm)
Bài 14. (Trang 60 SGK Toán 7 – Tập 2)
Đố: Vẽ tam giác
có 
, 
.
Lấy điểm 
trên đường thẳng 
sao cho 
. Điểm có nằm trên cạnh hay không? Tại sao? Có mấy điểm như vậy?
Bài giải
Điểm M nằm trên cạnh QR. Thật vậy:
Tam giác PQR có PQ = PR = 5cm.
Vậy 
cân tại P.
Vẽ 
, PH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
Vậy 
.
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông PHR, ta có:
.
Vì PH là đường vuông góc với QR nên PH là đoạn thẳng ngắn nhất.
Hơn nữa 
và 
nên 
.
Ta còn có, trong tam giác vuông 
, thì 
Vậy ta kết luận: Điểm M nằm trên cạnh QR và có hai điểm M như vậy.
Bạn có thể in hoặc xuất file pdf! Thật tuyệt!
