6.5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g)

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 7 tập 1 trang 123-125. Bài học: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh-góc (g.c.g)

Bài 33. (Trang 123 SGK Toán 7 – Tập 1)

Vẽ tam giác biết AC = 2cm, .

Bài giải

– Vẽ đoạn thẳng AC = 2cm.

– Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC, ta vẽ các tia Ax sao cho và tia Cy sao cho .

– Hai tia Ax và By cắt nhau ở B. Tam giác ABC là tam giác phải vẽ.

Bài 34. (Trang 123 SGK Toán 7 – Tập 1)

Trên mỗi hình 98, 99 có các tam giác nào bằng nhau ? Vì sao ?

Bài giải

Ở hình a:

Xét tam giác BCA và BDA, ta có :

(gt)

BA: cạnh chung

(gt)

(g.c.g)

Ở hình b :

Ta có và là hai góc kề bù nên :

(1)

Xét hai tam giác ABD và ACE, ta có:

(gt)

DB = EC (gt)

(do (1))

(g.c.g)

Xét tam giác ADC và AEB, ta có :

DC = DB + BC = CE + BC = EB (vì DB = CE)

(gt)

(gt)

(g.c.g)

Bài 35. (Trang 123 SGK Toán 7 – Tập 1)

Cho góc xOy khác góc bẹt, Ot là tia phân giác của góc đó. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với Ot, nó cắt Ox và Oy theo thứ tự ở A và B.

a) Chứng minh rằng OA = OB

b) Lấy điểm C thuộc tia Ot, chứng minh rằng CA = CB và .

Bài giải

a) Xét hai tam giác vuông HAO và HBO, ta có :

(do Ot là tia phân giác của góc xOy)

OH: cạnh chung

Vậy (g.c.g)

(dpcm)

b) Xét hai tam giác OAC và OBC, ta có :

OA = OB (cmt)

OC cạnh chung

Vậy (c.g.c)

(dpcm)

Bài 36. (Trang 123 SGK Toán 7 – Tập 1)

Trên hình 100 ta có OA = OB, . Chứng minh rằng AC = BD.

Bài giải

Xét hai tam giác OAC và OBD, ta có :

   (gt)

OA = OB (gt)

: góc chung

Vậy (g.c.g).

Suy ra : AC = BD (dpcm)

Bài 37. (Trang 123 SGK Toán 7 – Tập 1)

Trên mỗi hình 101, 102, 103 có các tam giác nào bằng nhau ? Vì sao ?

Lưu ý: Trong bài toán, khi không ghi đơn vị độ dài, ta quy định rằng các độ dài có cùng đơn vị.

Bài giải

• Ở hình a): Trong , ta có:

Xét hai tam giác DEF và BCA ta có :

(g.c.g)

• Ở hình b : Trong ta có:

Xét hai tam giác KLM và HIG, ta có:

• Ở hình c): Trong tam giác NQR, ta có:

Trong tam giác RPN, ta có:

Xét hai tam giác NQR và RPN, ta có :

RN: cạnh chung

Vậy  (g.c.g)

Bài 38. (Trang 124 SGK Toán 7 – Tập 1)

Trên hình 104 ta có AB // CD, AC //BD. Hãy chứng minh rằng AB = CD, AC = BD.

Bài giải

Ta có:

AB // CD (gt)

so le trong

 (1)

Ta có :

AC // BD (gt)

so le trong với

  (2)

Xét hai tam giác ACD và DBA, ta có :

(1)

AD : cạnh chung

Vậy : (g.c.g)

Suy ra AB = CD và AC = BD (dpcm)

 

Bài 39. (Trang 124 SGK Toán 7 – Tập 1)

Trên mỗi hình 105, 106, 107, 108 có các tam giác vuông bằng nhau ? Vì sao ?

Bài giải

a) Xét hai tam giác HBA và HCA, ta có :

HB = HC (gt)

HA : cạnh chung

(c.g.c)

b) Xét hai tam giác vuông KED và KFD, ta có :

KD : cạnh chung

  (gt)

(g.c.g)

c) Xét hai tam giác vuông BAD và CAD, ta có :

(gt) (1)

AD: cạnh chung (2)

(3)

(vì  và )

Từ (1) (2) (3) suy ra .

Ở hình d):

(cmt)

Xét hai tam giác vuông CDH và BDE, ta có:

(g.c.g)

Bài 40. (Trang 124 SGK Toán 7 – Tập 1)

Cho tam giác ABC (), tia Ax đi qua trung điểm M của C. Kẻ BE và CF vuông góc với Ax . So sánh các độ dài BE và CF.

Bài giải

Xét hai tam giác vuông EBM và FCM, ta có:

MB = MC (gt)

(vì phụ với ;  phụ với mà ).

Vậy

Suy ra : BE = CF

Bài 41. (Trang 124 SGK Toán 7 – Tập 1)

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ . Chứng minh rằng ID = IE = IF.

Bài giải

hai tam giác vuông DIB và EIB, ta có :

BI : cạnh chung

(cùng phụ với và )

Vậy (g.c.g)

  (1)

Xét hai tam giác vuông EIC và FIC , ta có :

IC: cạnh chung

(cùng phụ với  và )

Vậy (g-c-g)

   (2)

Từ (1) và (2) ta có: ID = IE = IF (dpcm)

Bài 42. (Trang 124 SGK Toán 7 – Tập 1)

Cho tam giác ABC có (h.109). Kẻ AH vuông góc với BC . Các tam giác AHC và BAC có AC là cạnh chung, là góc chung, , nhưng hai tam giác đó không bằng nhau.

Tại sao ở đây không thể áp dụng trường hợp góc – cạnh- góc để kết luận ?

Bài giải

Trong tam giác AHC cạnh AC không nằm giữa hai góc  và .

Còn trong tam giác BAC thì cạnh AC nằm giữa hai góc và . Vì vậy không thể áp dụng trường hợp góc – cạnh- góc để kết luận

 

Bài 43. (Trang 125 SGK Toán 7 – Tập 1)

Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng :

a) AD = BC ;

b)

c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Bài giải

a) Xét hai tam giác AOD và COB, ta có:

OA = OC (gt)

: góc chung (gt)

OD = OB (gt)

Vậy  (c.g.c)

Suy ra AD = BC (dpcm)

b) Vì (cmt)

    (1)

và

Ta có : ( 2 góc là hai góc kề bù)

(do )

   (2)

Ta có: (3)

Xét hai tam giác EAB và ECD ta có:

   (1)

BA = CD  (2)

  (3)

(g.c.g)

c) Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy :

Vì nên EA = EC

Xét hai tam giác AOE và COE ta có :

EA = EC

OA = OC (gt)

OE : cạnh chung

Vậy

Suy ra

Vậy OE là tia phân giác của góc xOy.

Bài 44. (Trang 125 SGK Toán 7 – Tập 1)

Cho tam giác ABC có . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

Chứng minh rằng :

a)

b) AB = AC.

Bài giải

a) Trong tam giác ABD, ta có:

Xét hai tam giác DAB và DAC, ta có :

AD : cạnh chung

(cmt)

Vậy (dpcm)

b) Ta có: (cmt)

Suy ra AB = AC (dpcm)

 

Bài 45. (Trang 125 SGK Toán 7 – Tập 1)

Đố: Cho bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trên giấy kẻ ô vuông như hình 110. Hãy dùng lập luận để giải thích:

a) AB = CD, BC = AD ;

b) AB // CD

Bài giải

a) Chứng minh AB = CD; BC = AD

+) Chứng minh AB = CD

Xét hai tam giác vuông MAB và NCD, ta cóL

MB = ND

MA = NC

Vậy

Suy ra AB = CD

+) Chứng minh BC = AD

Xét hai tam giác vuông KBC và PDA có :

KB = PD

KC = AP

Vậy

Suy ra BC = AD (dpcm)

b) Chứng minh AB // CD

Xét hai tam giác BAD và DCB, ta có:

AB = CD (cmt)

BC = AD (cmt)

BD : cạnh chung

Vậy

mà 2 góc ở vị trí so le trong

Suy ra AB // CD (dpcm)

Xem thêm Hướng dẫn giải bài tập sgk toán 7 Tam giác cân