7.3. Góc nội tiếp

Hướng dẫn giải bài tập sgk toán lớp 9 tập 2 trang 71-72. Bài học: Góc nội tiếp

Bài 15. (Trang 75 SGK Toán 9 – Tập 2)

Các khẳng định sau đây đúng hay sai ?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung

Bài giải

a) Đúng. (do hệ quả b)

b) Sai. Vì trong một đường tròn các góc nội tiếp bằng nhau không nhất thiết cùng chắn một cung.

Bài 16. (Trang 75 SGK Toán 9 – Tập 2)

Xem hình 19 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C)

a) Biết , tính

b) Nếu thì có số đo là bao nhiêu ?

Bài giải

a) Góc MAN nội tiếp (B) chắn cung nhỏ của (B).

Góc là góc nội tiếp của (C) và là góc ở tâm của (O)

Vậy

b) Ta có

Vậy

Bài 17. (Trang 75 SGK Toán 9 – Tập 2)

Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng eke thì phải làm như thế nào ?

Bài giải

Đặt đỉnh góc vuông của eke trùng với điểm M bất kì trên đường tròn, giả sử đường tròn cắt hai cạnh góc vuông của eke tại A và B. Vẽ đường thẳng AB.

Thực hiện tương tự, đặt góc vuông của eke trùng với điểm N trên đường tròn () hai cạnh eke cắt đường tròn tại C và D. Nối CD. Giao điểm của AB và CD là tâm của đường tròn.

Bài 18. (Trang 75 SGK Toán 9 – Tập 2)

Một huấn luyện viên cho cầu thủ sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20.

Hãy so sánh

Bài giải

Các góc đều là các góc nội tiếp trong đường tròn cùng chắn cung

Vậy

Bài 19. (Trang 75 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho đường tròn O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng tỏ rằng SH vuông góc với AB.

Bài giải

Ta có: (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tương tự, ta có:

Như vậy AN và BM là hai đường cao của tam giác SAB và H là trực tiếp. Vì trong một tam giác thì ba đường cao đồng quy

Suy ra

Bài 20. (Trang 76 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Bài giải

Nối A, B; nối B với C và D.

Ta có và là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) và (O’) nên:

Vậy

Suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Bài 21. (Trang 76 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì ? Tại sao ?

Bài giải

Vì hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên hai cung nhỏ bằng nhau vì cùng căng dây AB.

Ta có và là hai góc nội tiếp trong hai đường tròn bằng nhau cùng căng dây nên

Xét có:

Vậy là tam giác cân tại B.

Bài 22. (Trang 76 SGK Toán 9 – Tập 2)

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:

Bài giải

Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại A nên:

Vậy vuông tại A

Góc là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên:

Vậy AM là đường cao của tam giác vuông ABC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:

 

Bài 23. (Trang 76 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng

Hướng dẫn: Xét hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng

Bài giải

a) Trường hợp M ở bên trong đường tròn:

Xét hai tam giác MAD và MCB, ta có: (đối đỉnh)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Vậy đồng dạng

Suy ra:

b) Trường hợp M ở bên ngoài đường tròn:

Chứng minh tương tự, ta có: đồng dạng

Suy ra

(đpcm)

Bài 24. (Trang 76 SGK Toán 9 – Tập 2)

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài , chiều cao . Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Bài giải

Vẽ . Ta có: là đường kính của đường tròn chứa cung tròn AMB.

Xét hai tam giác và , ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Vậy đồng dạng

Suy ra

Thay số, ta có:

Bài 25. (Trang 76 SGK Toán 9 – Tập 2)

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.

Bài giải

a) Cách dựng:

Trước hết dựng đoạn thẳng

Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính

Dựng dây

Nối A với B; A với C. Ta có thỏa mãn các yêu cầu của đề bài

b) Chứng minh:

Ta có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Do đó

Theo cách dựng ta có: . Vậy tam giác vuông ABC là tam giác phải dựng.

Bài 26. (Trang 76 SGK Toán 9 – Tập 2)

Cho là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh và

Bài giải

a) Theo giả thiết ta có:   (1)

Mà nên   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó:

Vậy là tam giác cân tại S. Suy ra .

b) Chứng minh SN = SA. Theo chứng minh ở câu a) ta có:    (3)

Ta có: là góc nội tiếp chắn cung và là góc nội tiếp chắn cung    (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

• Vậy cân tại S. Suy ra

Xem thêm hướng dẫn giải bài tập sgk toán 9. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung